Question

在平面直角坐標中，邊長為2的正方形的兩頂點、分別在軸、軸的正半軸上，點在原點.現將正方形繞點順時針旋轉，當點第一次落在直線上時停止旋轉，旋轉過程中，邊交直線于點，邊交軸于點

（1）求邊在旋轉過程中所掃過的面積；

（2）旋轉過程中，當和平行時，求正方形旋轉的度數；

（3）設的周長為，在旋轉正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結論.

 

Answer 1

【答案】

（1）π/2（2）22.5°(3)周長不會變化，證明見解析

【解析】(1)面積=OA OA π45/360=π/2

(2)當MN和AC平行時，AM/AB=CN/CB

因AB=CB，故AM=CN，△OAM≌△OCN

∠AOM=∠CON

又∠CON=∠YOA（因同時旋轉），∠CON+∠YOA=45°，故∠YOA=22.5°

(3)周長不會變化。

延長MA交Y軸于D點，則可證：

△OAD≌△OCN， AD=CN，OD=ON

△OMD≌△OMN，MN=MD=MA+AD=MA+NC

所以△MBN的周長為P=BM+BN+MN=BM+BN+MA+NC=AB+BC=2+2=4

（1））因為A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉，所以OA旋轉了45度．所以OA在旋轉過程中所掃過的面積為π/2

(2)當MN和AC平行時，∠AOM=∠CON，因同時旋轉，∠CON=∠YOA，即正方形旋轉的度數為22.5°

(3) 延長MA交Y軸于D點，證得△OAD≌△OCN，△OMD≌△OMN，據此即可證明△MNP的周長等于正方形邊長的2倍，據此即可求解