Question

在平面直角坐標中，邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上，點O在原點．現將正三角形OAB繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=

3

x上時停止旋轉，旋轉過程中，AB邊交直線y=

3

x于點M，點B在x軸投影為N（如圖）．求：
（1）初始狀態時直線AB的解析式；
（2）OA邊在旋轉過程中所掃過的面積；
（3）△OMN從開始運動到到停止狀態前后面積比．

Answer 1

分析：（1）由邊長為2的正三角形OAB的頂點A在y軸正半軸上，即可求得ON的長，則可求得A與B的坐標，然后利用待定系數法，即可求得初始狀態時直線AB的解析式；
（2）由OA邊在旋轉過程中所掃過的扇形的角為30°，半徑為2，則可利用扇形面積的求解方法求得OA邊在旋轉過程中所掃過的面積；
（3）由在初始狀態下，由OB平分∠MON，易得△MON為正三角形，則可求得△MON的面積，又由停止運動時，△MON≌△AOB，即可求得此時△MON的面積，繼而求得△OMN從開始運動到到停止狀態前后面積比．

解答：解：（1）∵△OAB是邊長為2的正三角形，
∴OB=OA=2，∠AOB=60°，
∴∠BON=30°，
∴ON=OB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴A（0，2），B（

3

，1），
設直線AB的解析式為y=k₁x+b₁．
則

b1=2 3 k1+b1=1

，
解得：

k1=- 3 3 b1=2

，
故直線AB的解析式y=-

3

3

x+2；

（2）∵直線y=

3

x與x軸的夾角為：60°，
∴∠AOM=30°，
∴OA邊掃過面積S=

30°

360°

×π×2²=

1

3

π；

（3）在初始狀態下，∵∠AOM=∠BOM=30°，
∴OB平分∠MON，
∴OM=ON，
∴△MON為正三角形，
∴S_△MOM=

1

2

OM、ON•sin60°=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．
停止運動時，
在△MON和△AOB中，
∵

OM=OA ∠MON=∠AOB OB=ON

，
∴△MON≌△AOB（SAS），
∴S_△MON=

3

4

×22=

3

，
則前后面積比為：

3 3 4

3

=

3

4

．

點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式、等邊三角形的判定與性質、三角函數、全等三角形的判定與性質以及扇形的面積公式．此題難度較大，綜合性較強，注意掌握數形結合思想的應用．