Question

在平面直角坐標中，邊長為1的正方形OABC的兩頂點A、C分別在y軸、x軸的正半軸上，點O在原點．現將正方形OABC繞O點順時針旋轉，當A點第一次落在直線y=x上時停止旋轉．旋轉過程中，AB邊交直線y=x于點M，BC邊交x軸于點N（如圖1）．
（1）求邊AB在旋轉過程中所掃過的面積；
（2）設△MBN的周長為p，在旋轉正方形OABC的過程中，p值是否有變化？請證明你的結論；
（3）設MN=m，當m為何值時△OMN的面積最小，最小值是多少？并直接寫出此時△BMN內切圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）S_陰=S_△OAB+S_扇形OBB′-S_△OAA′-S_扇形OAA′，根據公式即可求解．
（2）延長BA交y軸于E點，可以證明：△OAE≌△OCN，△OME≌△OMN證得：OE=ON，AE=CN，MN=ME=AM+AE=AM+CN．從而求得：P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．即可求解．
（3）Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²，所以（1-n）²+（1-m+n）²=m²?m²-mn+2-m=0．把這個方程看作關于n的方程，根據一元二次方程有解得條件，即可求得．

解答：解：（1）如圖，S_陰=S_△OAB+S_扇形OBB'-S_△OA'B′-S_扇形OAA'
=S_扇形OBB′-S_扇形OAA′=

45

360

π(

2

)2-

45

360

π×1²=

π

8

（6分）


（2）p值無變化（7分）
證明：延長BA交y軸于E點，
在△OAE與△OCN中，

∠AOE=∠CON=90°-∠AON ∠OAE=∠OCN=90° OA=OC

∴△OAE≌△OCN（AAS）
∴OE=ON，AE=CN（8分）
在△OME與△OMN中，

OE=ON ∠MOE=∠MON=45° OM=OM

∴△OME≌△OMN（SAS）
∴MN=ME=AM+AE=AM+CN（9分）
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2；

（3）設AM=n，則BM=1-n，CN=m-n，BN=1-m+n，
∵△OME≌△OMN，
∴S_△MON=S_△MOE=

1

2

OA×EM=

1

2

m（11分）
在Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²
∴（1-n）²+（1-m+n）²=m²?n²-mn+1-m=0
∴△=m²-4（1-m）≥0?m≥2

2

-2或m≤-2

2

-2，
∴當m=2

2

-2時，△OMN的面積最小，為

2

-1．
此時n=

2

-1，
則BM=1-n=2-

2

，BN=1-m+n=2-

2

，
∴Rt△BMN的內切圓半徑為

BM+BN-MN

2

=3-2

2

．

點評：本題綜合運用了扇形的面積公式，全等三角形的判定，三角形的面積公式以及勾股定理的綜合應用，難度較大．