Question

某廠銷售一種專利產品，現準備從專賣店銷售和電視直銷兩種銷售方案中選擇一種進行銷售．若只是專賣店銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y =x＋150，成本為40元/件，無論銷售多少，每月還需支出房租費52500元，設月利潤為w_專（元）（利潤 = 銷售額－成本－廣告費）．若只是電視直銷，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，40≤a≤80），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納x² 元的廣告費，設月利潤為w_電（元）（利潤 = 銷售額－成本－附加費）．
（1）當x = 1000時，y =        元/件，w_內 =        元；
（2）分別求出w_專、w_電與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；
（3）當x為何值時，在專賣店銷售的月利潤最大？若是電視直銷月利潤的最大值與在專賣店銷售月利潤的最大值相同，求a的值；
（4）如果某月要將5000件產品全部銷售完，請你通過分析幫公司決策，選擇在專賣店還是電視直銷才能使所獲月利潤較大？

Answer 1

(1)140、47500（2）w_專 = x（y -40）- 52500 =（x²＋110 x）- 52500，
W_電 = x²＋（150-a）x（3）當50.5＜ a ≤80時，選擇在專賣店銷售．

試題分析：(1)140、47500
（2）w_專 = x（y -40）- 52500 =（x²＋110 x）- 52500，
W_電 = x²＋（150-a）x
（3）當x = 5500時，w_專最大；為250000
由題意得 ，W_電最大時解得a₁ = 50，a₂ = 250（不合題意，舍去）．所以 a = 50．
（4）當x  = 5000時，w_專 = 247500， w外 =500000-5000a
若w_專＜W_電，則a＜50.5；
若w_專= W_電，則a = 50.5；
若w_專 ＞W_電，則a＞50.5．
所以，當40≤ a ＜50.5時，選擇在電視直銷銷售；
當a = 50.5時，在專賣店和電視直銷銷售都一樣；
當50.5＜ a ≤80時，選擇在專賣店銷售．
點評：在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵．,