Question

【題目】如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2交于點C和D，點P是直線CD上的一個動點。

（1）如果點P運動到C、D之間時，試探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，并說明理由。

（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），∠PAC，∠APB，∠PBD之間 的關系是否發生改變？請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）P點在C、D之間運動時，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD，理由詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）當P點在C、D之間運動時，首先過點P作，由，可得,根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得: ∠APB＝∠PAC+∠PBD；

（2）當點P在C、D兩點的外側運動時，則有兩種情形，由直線，根據兩直線平行,內錯角相等，同位角相等與三角形外角的性質，可分別求得:∠APB＝∠PAC－∠PBD和∠APB＝∠PBD-∠PAC.

解：（1）若P點在C、D之間運動時，則有∠APB＝∠PAC+∠PBD.理由是：

如圖，過點P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC，

又因為l1∥l2，所以PE∥l2，

所以∠BPE＝∠PBD，

所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，

即∠APB＝∠PAC+∠PBD.

（2）若點P在C、D兩點的外側運動時（P點與點C、D不重合），則有兩種情形：

①如圖1，有結論：∠APB＝∠PAC－∠PBD.理由是：

過點P作PE∥l1，則∠APE＝∠PAC

又因為l1∥l2，所以PE∥l2

所以∠BPE＝∠PBD

所以∠APB＝∠APE-∠BPE

即∠APB＝∠PAC－∠PBD.

②如圖2，有結論：∠APB＝∠PBD－∠PAC.理由是：

過點P作PE∥l2，則∠BPE＝∠PBD

又因為l1∥l2，所以PE∥l1

所以∠APE＝∠PAC

所以∠APB＝∠BPE-∠APE

即∠APB＝∠PBD-∠PAC.