Question

【題目】在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點D是邊BC上任意一點，連接AD，過點C作CE⊥AD于點E．

（1）如圖1，若∠BAD=15°，且CE=1，求線段BD的長；

（2）如圖2，過點C作CF⊥CE，且CF=CE，連接FE并延長交AB于點M，連接BF，求證：AM=BM．

Answer 1

【答案】(1) 2﹣ ;(2)見解析

【解析】分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根據直角三角形30°角的性質可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，設ED=x，則CD=2x，利用勾股定理得：x=1，求得x的值，可得BD的長；

（2）如圖2，連接CM，先證明△ACE≌△BCF，則∠BFC=∠AEC=90°，證明C、M、B、F四點共圓，則∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三線合一的性質可得AM=BM．

詳解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=45°，

∵∠BAD=15°，

∴∠CAE=45°﹣15°=30°，

Rt△ACE中，CE=1，

∴AC=2CE=2，

Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，

∴CD=2ED，

設ED=x，則CD=2x，

∴CE=x，

∴x=1，

x=，

∴CD=2x=，

∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣；

（2）如圖2，連接CM，

∵∠ACB=∠ECF=90°，

∴∠ACE=∠BCF，

∵AC=BC，CE=CF，

∴△ACE≌△BCF，

∴∠BFC=∠AEC=90°，

∵∠CFE=45°，

∴∠MFB=45°，

∵∠CFM=∠CBA=45°，

∴C、M、B、F四點共圓，

∴∠BCM=∠MFB=45°，

∴∠ACM=∠BCM=45°，

∵AC=BC，

∴AM=BM．