Question

如圖，已知Rt△ABC是⊙O的內接三角形，∠BAC=90°，AH⊥BC，垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E，交⊙O于點F，且AE=BE．
（1）求證：

AB

=

AF

；
（2）若BE•EF=32，AD=6，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）要證

AB

=

AF

就要利用相等的圓周角所對的弧相等來證明，所以連接BH，根據垂徑定理可知弧AB=弧BH．因為AE=BE，利用等腰三角形的性質及等量代換就可證明：

AB

=

AF

；
（2）已知BE•EF=32，AD=6，所以可根據相交弦定理求出AE，EH的長，然后再由已知AE=BE求出BE的長，利用勾股定理即可求出BD的長．

解答：（1）證明：連接BH，
根據垂徑定理可知弧AB=弧BH，
∴∠BAH=∠BHA．
∵AE=BE，
∴∠BAH=∠ABF．
∴∠BHA=∠ABF．
∴

AB

=

AF

．

（2）解：∵BE•EF=32，
∴AE•EH=32．
∵AD=6，
∴AH=12．
∴AE•（12-AE）=32．
解得AE=4或8，
從圖中可知AE=4，DE=2
∵AE=BE，
∴BE=4．
∴BD=

42-22

=2

3

．

點評：本題綜合考查了圓的垂徑定理及等弧所對和圓周角相等的性質及相交弦勾股定理的應用．