Question

5、如圖，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC延長線上一點，PE⊥AB交BA延長線于E，PF⊥AC交AC延長線于F，D為BC中點，連接DE，DF．求證：DE=DF．

Answer 1

分析：連接AD，由題意可判斷出四邊形AEPF是矩形，再根據矩形的性質可得出AE=FP，由Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D為BC中點可得出AD=BC，∠1=∠2=45°=∠3，再由全等三角形的判定定理可得出△ADE≌△CDF，進而可得出結論．

解答：證明：連接AD（如圖），
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AE=FP，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC中點，
∴AD=DC，∠1=∠2=45°=∠3，
∴∠EAD=∠FCD=135°，∠CPF=45°=∠3，
∴CF=PF=AE，
∴△ADE≌△CDF（SAS）
∴DE=DF．

點評：本題考查的是矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理，涉及面較廣，難度適中．