Question

【題目】如圖①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于點H，點D在AH上，且DH=CH，連結BD．

（1）求證：BD=AC；

（2）將△BHD繞點H旋轉，得到△EHF（點B，D分別與點E，F對應），連接AE．

①如圖②，當點F落在AC上時，（F不與C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的長；

②如圖③，當△EHF是由△BHD繞點H逆時針旋轉30°得到時，設射線CF與AE相交于點G，連接GH，試探究線段GH與EF之間滿足的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①；②＝．

【解析】

試題分析：（1）先判斷出AH=BH，再判斷出△BHD≌△AHC即可；

（2）①先根據tanC=3，求出AH=3，CH=1，然后根據△EHA≌△FHC，得到，HP=3AP，AE=2AP，最后用勾股定理即可；

②先判斷出△AGQ∽△CHQ，得到，然后判斷出△AQC∽△GQH，用相似比即可．

試題解析：（1）在Rt△AHB中，∠ABC=45°，∴AH=BH，在△BHD和△AHC中，∵AH=BH，∠BHD=∠AHC，DH=CH，∴△BHD≌△AHC，∴BD=AC；

（2）①如圖，在Rt△AHC中，∵tanC=3，∴=3，設CH=x，∴BH=AH=3x，∵BC=4，∴3x+x=4，∴x=1，∴AH=3，CH=1，由旋轉知，∠EHF=∠BHD=∠AHC=90°，EH=AH=3，CH=DH=FH，∴∠EHA=∠FHC，，∴△EHA≌△FHC，∴∠EAH=∠C，∴tan∠EAH=tanC=3，過點H作HP⊥AE，∴HP=3AP，AE=2AP，在Rt△AHP中，，∴，∴AP=，∴AE=；

②由①有，△AEH和△FHC都為等腰三角形，∴∠GAH=∠HCG=90°，∴△AGQ∽△CHQ，∴，∴，∵∠AQC=∠GQE，∴△AQC∽△GQH，∴=sin30°=．