Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標分別是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，連接BC交y軸于點M，N為AC中點，連接NO并延長至D，使OD=ON，連接BD．
（1）求a，b的值；
（2）求∠DBC；
（3）如圖2，Q為ON，BC的交點，連接AQ，AB，過點O作OP⊥OQ，交AB于P，過點O作OH⊥AB于H，交BQ于E，請探究線段EH，PH與OH之間有何數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】解：（1）∵點A，B，C的坐標分別是（0，a），（b，0），（a，﹣b）且a2+b2+4a﹣4b=﹣8，
∴（a+2）2+（b﹣2）2=0，
∴a+2=0，b﹣2=0，
∴a=﹣2，b=2；
（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣2，﹣2），
∴AC∥x軸，
∵N為AC中點，
∴N（﹣1，﹣2），
∴AN=1，
∵OD=ON，
∴D和N點關于O點對稱，
∴D（1，2），
設直線BD的解析式為y=k1x+b1 ，
∴，解得k1=﹣2，
設直線BC的解析式為y=k2x+b2 ，
∴，解得，
∵k1k2=﹣1，
∴DB⊥BC，
∴∠DBC=90°；
（3）∵A（0，﹣2），B（2，0），
∴OA=OB=2，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH，
∴H（1，﹣1），
∴直線OH：y=﹣x，OH=，
∵線BC的解析式為y=x﹣1，
解得，
∴E（，﹣），
∴EH==，
∵N（﹣1，﹣2），
∴直線ON：y=2x，
∵OP⊥OQ，
∴直線OP：y=﹣x，
解得，
∴P（，﹣），
∴PH==，
∴OH﹣EH=2OH；
【解析】（1）把a2+b2+4a﹣4b=﹣8化成（a+2）2+（b﹣2）2=0，根據非負數的和等于0，即可求得a，b的值；
（2）根據A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣2，﹣2），對稱AC∥x軸，從而求得N的坐標，根據中心對稱的性質對稱D的坐標，然后根據待定系數法求得直線BD的斜率和直線BC的斜率，即可判定兩條直線垂直，從而求得∠DBC=90°；
（3）分別求得E，H，P的坐標，根據勾股定理求得線段EH、OH、OH的長，即可得出線段EH，PH與OH之間的數量關系．