Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x-5交x軸于A，交y軸于B，點P（0，-1），D是線段AB上一動點，DC⊥y軸于點C，反比例函數y=

k

x

的圖象經過點D．
（1）若C為BP的中點，求k的值．

（2）DH⊥DC交OA于H，若D點的橫坐標為x，四邊形DHOC的面積為y，求y與x之間的函數關系式．

（3）將直線AB沿y軸正方向平移a個單位（a＞5），交x軸、y軸于E、F點，G為y軸負半軸上一點，G（0，-a+5），點M、N以相同的速度分別從E、G兩點同時出發，沿x軸、y軸向點O運動（不到達O點），同時靜止，連接并延長FM交EN于K，連接OK、MN，當M、N兩點在運動過程中以下兩個結論：①∠EFM=∠MNK；②∠FMO=∠OKN，其中只有一個結論是正確的，請判斷并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據直線y=-x-5可求出B點坐標，由于C是PB的中點，所以可求出C點坐標，把C點的縱坐標代入直線解析式即可求出D點的橫坐標，進而可求出k的值．
（2）根據點D在直線y=-x-5的圖象上，可用x表示出點D的縱坐標，再根據矩形的面積公式即可求解；
（3）根據將直線AB沿y軸正方向平移a個單位，點M、N以相同的速度分別從E、G兩點同時出發，沿x軸、y軸向點O運動，得到四邊形GNME是個等腰梯形，得到∠MNK=∠NMG=∠MGE，再根據△GME≌△FME，都得到∠MGE=∠EFM，進而求得∠MNK=∠EFM．

解答：解：（1）∵B點是直線y=-x-5與y軸的交點，
∴x=0，y=-5，即B點坐標為（0，-5），
∵點P（0，-1），C為BP的中點，
∴C點的坐標為（0，-3），
∴D點縱坐標為-3，即-3=-x-5，x=-2，
∴D點坐標為（-2，-3），
∵D在反比例函數y=

k

x

的圖象上，
∴k=（-2）×（-3）=6．

（2）∵D點的橫坐標為x，
∴其縱坐標為-x-5，
∵D點在第三象限，
∴x＜0，-x-5＜0，
∴y=|x|•|-x-5|=-x•（x+5）=-x²-5x．

（3）連接MG、EG，
∵GNME是等腰梯形，
∴∠MNK=∠NMG=∠EFM，
又∵△GME≌△FME，
∴∠MGE=∠EFM，
∴∠MNK=∠EFM．
故①正確．

點評：本題比較復雜，涉及到一次函數圖象上點的坐標特點、用待定系數法求反比例函數的解析式、全等三角形的判定等知識，難度較大．