Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發，沿DC向點C勻速運動，速度為3m/s，以O為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發，設它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜）．

（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為 ；

（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；

（3）請你繼續進行探究，并解答下列問題：

①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側；

②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①證明見解析，②t=，PM與⊙O不相切.

【解析】

試題分析：（1）先證△PBQ∽△CBD，求出PQ、BQ，進而可求出t值；（2）先證△QTM∽△BCD，利用線段成比例可求出t值；（3）①QM交CD于E，利用DE、DO差值比較可判斷點O始終在QM所在直線的左側；②由①可知⊙O只有在左側與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．由△OHE∽△BCD，利用線段成比例可求t值，再利用反證法證明直線PM不可能與⊙O相切.

試題解析：解：（1）如圖1中，在矩形ABCD中，∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，∴，∵PQ⊥BD，∴∠BPQ=90°，∵∠PBQ=∠DBC，∠BPQ=∠C，∴△PBQ∽△CBD，∴==，∴==，∴PQ=3t，BQ=5t，∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，∴QP=QC，∴3t=6﹣5t，

∴t=.（2）解：如圖2中，作MT⊥BC于T．∵MC=MQ，MT⊥CQ，∴TC=TQ，∴ TQ=（8﹣5t），QM=3t，

∵MQ∥BD，∴∠MQT=∠DBC，∵∠MTQ=∠BCD=90°，∴△QTM∽△BCD，∴=，∴

∴t=（s），∴t=s時，△CMQ是以CQ為底的等腰三角形．（3）①證明：如圖2中，由此QM交CD于E，

∵EQ∥BD，∴=，∴EC=（8﹣5t），ED=DC﹣EC=6﹣（8﹣5t）=t，∵DO=3t，∴DE﹣DO=t﹣3t=t＞0，∴點O在直線QM左側．②解：如圖3中，由①可知⊙O只有在左側與直線QM相切于點H，QM與CD交于點E．∵EC=（8﹣5t），DO=3t，∴OE=6﹣3t﹣（8﹣5t）=t，∵OH⊥MQ，∴∠OHE=90°，∵∠HEO=∠CEQ，

∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，∵∠OHE=∠C=90°，∴△OHE∽△BCD，∴=，∴，∴t=．

∴t=s時，⊙O與直線QM相切．連接PM，假設PM與⊙O相切，則∠OMH= PMQ=22.5°，在MH上取一點F，使得MF=FO，則∠FMO=∠FOM=22.5°，∴∠OFH=∠FOH=45°，∴OH=FH=0.8，FO=FM=0.8 ，∴MH=0.8（+1），

由=得到HE=，由=得到EQ=，∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4- - =，

∴0.8（+1）≠，矛盾，∴假設不成立．∴直線MQ與⊙O不相切．