Question

【題目】平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O、A、C的坐標分別為(0，0)、A(a，0)、C(0，b)，且a、b滿足.

(1)矩形的頂點B的坐標是______.

(2)若D是OC中點，沿AD折疊矩形OABC使O點落在E處，折痕為DA，連CE并延長交AB于F，求直線CE的解析式；

(3)將(2)中直線CE向左平移個單位交y軸于M，N為第二象限內的一個動點，且∠ONM＝135°，求FN的最大值.

Answer 1

【答案】（1）B（6，8）；（2）；（3）.

【解析】

（1）變形為，則b-8=0，a-b+2=0，即可求解；

（2）過點E作x軸的平行線交y軸于點G、交AB于點H，設GD=m，GE=n，證明Rt△DGE∽Rt△EHA，得 ,即，即可求解；

（3）過點N、O、M作圓R（R為圓心），連接RM、RO，當F、R、N三點共線時，FN最大，即可求解．

解：（1）.

∴，

∴b-8=0，a-b+2=0，
解得：a=6，b=8，
∴點B的坐標為（6，8）；

（2）過點E作x軸的平行線交y軸于點G、交AB于點H，設GD=m，GE=n，
∵∠GED+∠HEA=90°，∠GED+∠GDE=90°，
∴∠GDE=∠HEA，
∴Rt△DGE∽Rt△EHA，

∴

∴

解得：，

∴OG=,

∴.

設直線CE的解析式為y=kx+b,則

，

解得，

∴直線CE的解析式為：.

（3）在中當x=6時，y=4，

∴點F的坐標為，

直線CE向左平移一個單位后的表達式為：，

∴點M的坐標為，

過點N、O、M作圓R（R為圓心），連接RM、RO，

當F、R、N三點共線時，FN最大，
∵∠ONM=135°，

∴∠MRO=90°，

∴△RMO為等腰直角三角形，
∴點R的坐標為，

∴，

∴，

∵，

∴=，

∴FN的最大值=PR+RN==.

故答案是：.