Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作半圓⊙O交AC于點D，點E為BC的中點，連接DE.

（1）求證：DE是半圓⊙O的切線；
（2）若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，OE，BD，

∵AB為圓O的直徑，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，E為斜邊BC的中點，
∴DE=BE，
在△OBE和△ODE中，
OB=OD，OE=OE，BE=DE，
∴△OBE≌△ODE（SSS），
∴∠ODE=∠ABC=90°，
則DE為圓O的切線
（2）解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴BC= AC，
∵BC=2DE=4，
∴AC=8，
又∵∠C=60°，DE=CE，
∴△DEC為等邊三角形，即DC=DE=2，
則AD=AC﹣DC=6．
【解析】（1）連接OD，OE，由AB為圓的直徑得到△BCD為直角三角形，再由E為斜邊BC的中點，可證得DE=BE=DC，利用SSS可證得△OBE≌△ODE，由全等三角形的對應角相等得到DE與OD垂直，即可得證。
（2）在直角三角形ABC中，由∠BAC=30°，得到BC為AC的一半，根據BC=2DE求出BC的長，確定出AC的長，再由∠C=60°，DE=EC得到三角形EDC為等邊三角形，可得出DC的長，由AC-CD即可求出AD的長。