Question

【題目】請閱讀下列材料：

問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度數的大小和等邊三角形ABC的邊長．

李明同學的思路是：將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，畫出旋轉后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PB是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進而求出等邊△ABC的邊長為，問題得到解決．

請你參考李明同學的思路，探究并解決下列問題：如圖3，在正方形ABCD內有一點P，且PA=，BP=，PC=1．求∠BPC度數的大小和正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）；

【解析】試題分析：

（1）如圖，將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A，由此可得：AP′=PC=1，BP=BP′=；連接PP′，由∠PBP′=90°可得PP′=2，∠BP′P=45°，這樣在△AP′P中由勾股定理的逆定理可得∠AP′P=90°，從而可得∠AP′B=135°，由此可得∠BPC=∠AP′B=135°；

（2）過點B作BE⊥AP′，交AP′的延長線于點E，結合（1）中∠AP′B=135°可證得△BEP′是等腰直角三角形，結合BP′=，可得EP′=BE=1，從而可得AE=2，結合BE=1在Rt△ABE中由勾股定理即可求得AB的長.

試題解析：

（1）如圖，

將△BPC繞點B逆時針旋轉90°，得△BP′A，則△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=1，BP=BP′=；

連接PP′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=，∠PBP′=90°，

∴PP′=2，∠BP′P=45°；

在△AP′P中，AP′=1，PP′=2，AP=，

∵，即AP′2+PP′2=AP2；

∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P=90°，

∴∠AP′B=135°，

∴∠BPC=∠AP′B=135°．

（2）過點B作BE⊥AP′，交AP′的延長線于點E，

∴∠BEP′=90°，

∵∠AP′B=135°，

∴∠EP′B=45°，

∴△BEP′是等腰直角三角形，

∵BP′=，

∴EP′=BE=1，

∴AE=AP′+EP′=2；

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=；

∴∠BPC=135°，正方形邊長為．