Question

【題目】如圖，點A（2，2）在雙曲線y1=（x＞0）上，點C在雙曲線y2=－（x＜0）上，分別過A、C向x軸作垂線，垂足分別為F、E，以A、C為頂點作正方形ABCD，且使點B在x軸上，點D在y軸的正半軸上．

（1）求k的值；

（2）求證：△BCE≌△ABF；

（3）求直線BD的解析式．

Answer 1

【答案】（1)4.（2)證明見解析.（3）y=5x+5．

【解析】

試題（1）把A點坐標代入y1=可求得k的值；

（2）由正方形的性質得出BC=AB，∠ABC=90°，再由角的互余關系證出∠BCE=∠ABF，由AAS即可證明△BCE≌△ABF；

（3）由△BCE≌△ABF得出BE=AF=2，CE=BF，設OB=x，則OE=x+2，CE=BF=x+2，點C的坐標為：（－x－2，x+2），代入雙曲線y2=－（x＜0）得出方程：－（x+2）2=－9，得出x=1，OB=1，B（－1，0），AG=5，再由HL證明Rt△BOD≌Rt△CGA，得出OD=AG=5，得出D（0，5），設直線BD的解析式為：y=kx+b，把B、D坐標代入得出方程組，解方程組求出k、b，即可得出直線BD的解析式．

試題解析：（1）解：把點A（2，2）代入y1=，

得：2=，

∴k=4；

（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，

∴∠EBC+∠ABF=90°，

∵CE⊥x軸，AF⊥x軸，

∴∠CEB=∠BFA=90°，

∴∠BCE+∠EBC=90°，

∴∠BCE=∠ABF，

在△BCE和△ABF中，

，

∴△BCE≌△ABF；

（3）解：連接AC，作AG⊥CE于G，如圖所示：

則∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，

由（2）得：△BCE≌△ABF，

∴BE=AF=2，CE=BF，

設OB=x，則OE=x+2，CE=BF=x+2，

∴OE=CE，

∴點C的坐標為：（－x－2，x+2），

代入雙曲線y2=－（x＜0）得：－（x+2）2=－9，

解得：x=1，或x=－5（不合題意，舍去），

∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，

∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（－1，0），AG=5，

在Rt△BOD和Rt△CGA中，

，

∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL），

∴OD=AG=5，

∴D（0，5），

設直線BD的解析式為：y=kx+b，

把B（－1，0），D（0，5）代入得：，

解得：k=5，b=5．

∴直線BD的解析式為：y=5x+5．