Question

【題目】將矩形紙片分別沿兩條不同的直線剪兩刀，可以使剪得的三塊紙片恰能拼成一個等腰三角形（不能有重疊和縫隙）．小華的做法是：如圖1所示，在矩形ABCD中，分別取AD、AB、CD的中點P、E、F，并沿直線PE 、PF剪兩刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN (如圖2)．

（1）在圖3中畫出另一種剪拼成等腰三角形的示意圖；

（2）以矩形ABCD的頂點B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標系（如圖4），矩形ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMN，點P在邊AD上（不與點A、D重合），點M、N在x軸上（點M在N的左邊）．如果點D的坐標為(5，8)，直線PM的解析式為y=kx+b，求所有滿足條件的k的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），或2．

【解析】

（1）可直接沿AD、CD中點，BC、CD中點剪開；

（2）△MNP是等腰三角形，分①PM=PN，②PM=MN，③PN=MN三種情況取AB、CD的中點E、F，沿PE、PF剪開，拼接成等腰三角形，然后求出相應的k值．

（1）如圖1：沿AD、CD中點，BC、CD中點剪開，即可得到一個等腰△PMN；

（2）取AB、CD的中點E、F．

∵點D的坐標為（5，8），四邊形ABCD是矩形，

∴E（0，4），F（5，4）．

①如圖2，若PM=PN，則P（2.5，8）．

將點P、E的坐標分別代入直線PM的解析式為y=kx+b，得：

，

解得，；

②如圖3，若PM=MN，則PM=MN=10，所以，EP=5，

∵AE=4，

∴在Rt△APE中，根據勾股定理知AP==3，

∴P（3，8）．

將點P、E的坐標分別代入直線PM的解析式為y=kx+b，得：

，

解得，；

③如圖4，若PN=MN，則PN=MN=10，

所以，PF=5，

∵DF=4，

∴在Rt△PDF中，根據勾股定理知PD==3，

∴P（2，8）．

將點P、E的坐標分別代入直線PM的解析式為y=kx+b，得，

解得，．

綜上所述，k=，或2.

故答案是：，或2．