Question

【題目】已知，在中，，點為直線上一動點(點不與點重合).以為邊作正方形連接．

觀察猜想：

（1）如圖1，當點在線段上時，判斷之間數量關系，并證明；

　　　　　

類比探究：

（2）如圖2，當點在線段的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出三條線段之間的關系；

拓展延伸：

（3）如圖3，當點在線段的反向延長線上時，且點分別在直線的兩側，其他條件不變；

①請直接寫出三條線段之間的關系；

②若正方形的邊長為、對角線相交于點，連接，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）；證明見解析；（2）；（3）①，② ．

【解析】

（1）根據SAS證明△ABD≌△ACF，由△ABD≌△ACF的性質和線段的和可得結論；

（2）同理證明△ABD≌△ACF，可得BC⊥CF，由BD=BC+CD，BD=CF，可得新的結論：；

（3）①根據圖3知：DC最長，同理：△DAB≌△FAC，則BD=CF，可得BC=DC-CF；

②先根據正方形的邊長求對角線DF的長，證明∠DCF=90°，根據直角三角形斜邊中線的性質可得OC的長．

證明:，，

四邊形是正方形，

，

，

則在和中，

，

，

；

（2）證明：如圖2，

在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAD=∠CAF，

∵∠ABC=45°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=45°，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

在△ABD與△ACF中，

∴△ABD≌△ACF，

∴∠ACF=∠ABD=45°，BD=CF，

∵∠ACB=45°，

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，

∴BC⊥CF；

∵BD=BC+CD，BD=CF，

∴；

（3）①理由是：如圖3，

同理得：∠DAB=∠FAC，

與（2）同理，可證△DAB≌△FAC，

∴BD=CF，

∴DC=BD+BC=CF+BC，

∴BC=DC-CF；

，

四邊形是正方形，

，

在和中，

，

，

，

，

，

是直角三角形.

正方形的邊長為

且對角線相交于點

為中點.