Question

【題目】在現今“互聯網+”的時代,密碼與我們的生活已經緊密相連,密不可分,而諸如“123456”、生日等簡單密碼又容易被破解,因此利用簡單方法產生一組容易記憶的密碼就很有必要了,有一種用“因式分解”法產生的密碼、方便記憶,其原理是:將一個多項式分解因式,如多項式:因式分解的結果為,當時,此時可以得到數字密碼171920.

(1)根據上述方法,當時,對于多項式分解因式后可以形成哪些數字密碼?(寫出三個)

(2)若一個直角三角形的周長是24,斜邊長為10,其中兩條直角邊分別為x、y,求出一個由多項式分解因式后得到的密碼(只需一個即可);

(3)若多項式因式分解后,利用本題的方法,當時可以得到其中一個密碼為242834,求m、n的值.

Answer 1

【答案】（1）211428;，212814，142128；（2）48100；（3）m、n的值分別是56、17

【解析】試題分析：（1）先分解因式得到x3-xy2=x（x-y）（x+y），然后利用題中設計密碼的方法寫出所有可能的密碼；

（2）利用勾股定理和周長得到x+y=14，x2+y2=100，再利用完全平方公式可計算出xy=48，然后與（1）小題的解決方法一樣；

（3）由x=27時可以得到其中一個密碼為242834，可得x3+（m-3n）x2-nx-21因式分解為（x-3）（x+1）（x+7），再利用多項式的乘法法則展開，然后與x3+（m-3n）x2-nx-21比較，即可求出m、n的值．

試題解析：（1）x3-xy2=x（x-y）（x+y），

當x=21，y=7時，x-y=14，x+y=28，

可得數字密碼是211428，也可以是212814，142128；

(2)由題意得: ，

解得，

而，

所以可得數字密碼為48100；

(3)由題意得，

，

，

，解得，

故m、n的值分別是56、17.