Question

【題目】將直角邊長為6的等腰直角△AOC放在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點C、A分別在x軸，y軸的正半軸上，一條拋物線經過點A、C及點B（﹣3，0）．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點P是線段BC上一動點，過點P作AB的平行線交AC于點E，連接AP，當△APE的面積最大時，求點P的坐標；
（3）若點P（t，t）在拋物線上，則稱點P為拋物線的不動點，將（1）中的拋物線進行平移，平移后，該拋物線只有一個不動點，且頂點在直線y=2x﹣ 上，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（﹣3，0），C（6，0），設拋物線為y=a（x+3）（x﹣6），過A（0，6）

∴6=a（0+3）（0﹣6），

解得a=﹣ ，

∴y=﹣ （x+3）（x﹣6），

即y=﹣ x2+x+6；

（2）

解：設P（m，0），

如圖，

∵PE∥AB，

∴△PCE∽△BCA，

∴ ，

，

∴S△PCE= ，

∴S=S△APC﹣S△PCE=﹣ m2+m+6，

=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，S有最大值為 ；

∴P（ ，0）

（3）

解：設平移后的拋物線的頂點為G（h，k），

∴拋物線解析式為y=﹣ （x﹣h）2+k，

由拋物線的不動點的定義，得，t=﹣ （t﹣h）2+k，

即：t2+（3﹣2h）t+h2﹣3k=0，

∵平移后，拋物線只有一個不動點，

∴此方程有兩個相等的實數根，

∴△=（3﹣2h）2﹣4（h2﹣3k）=0，

∴h﹣k= ①，

∵頂點在直線y=2x﹣ 上，

∴k=2k﹣ ②，

∴聯立①②得，h=1，k= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x﹣1）2+ =﹣ x2+ x﹣

【解析】（1）已知拋物線與x軸的兩個交點坐標，所以設拋物線方程為兩點式：y=a（x+3）（x﹣6），然后把點A的坐標代入該函數解析式即可求得系數a的值；（2）利用相似三角形的性質得出S△PCE= ，進而求出△APE的面積S，即可得出點P坐標；（3）利用拋物線上不動點的定義以及不動點的個數得出方程h﹣k= ①，再用平移后的拋物線的頂點在直線y=2x﹣ 上，得出方程k=2k﹣ ②，聯立解方程組即可．
【考點精析】本題主要考查了拋物線與坐標軸的交點和相似三角形的判定的相關知識點，需要掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）才能正確解答此題．