【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，雙曲線
（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于D、E，且BD＝2AD
（1）求k的值和點E的坐標；
（2）點P是線段OC上的一個動點，是否存在點P，使∠APE＝90°？若存在，求出此時點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）k="4," E（4，1）；（2）存在要求的點P，坐標為（1，0）或（3，0）．
【解析】
試題（1）由矩形ABCD中，AB=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得 AD的長，然后求得點D的坐標，即可求得K的值，繼而求得點 E的坐標；（2）首先假設存在要求的點P坐標為（m,0），OP=m,CP=4-m,由∠APE=90，易證得△AOP∽△PCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得m的值，繼而求得此時點P的坐標．
試題解析：（9分）（1）∵AB=4，BD=2AD，∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，∴AD=
，
又∵OA=3，所以D（，3），∵點D在雙曲線
上，所以k=×3=4．
∵四邊形OABC為矩形,∴AB=OC=4，∴點E的橫坐標為4．
把x=4代入
中，得y=1，所以E（4，1）．
（2）假設存在要求的點P坐標為（m，0），OP=m，CP=4-m．
∵∠APE=90，∴∠APO+∠EPC=90,又∵∠APO+∠OAP=90, ∴∠EPC=∠OAP，
又∵∠AOP=∠PCE=90，∴△AOP∽△PCE，∴
，
∴
,解得：m=1或m=3．
所以，存在要求的點P，坐標為（1，0）或（3，0）．
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【題目】如圖，拋物線y=﹣2x2+8x﹣6與x軸交于點A、B，把拋物線在x軸及其上方的部分記作C1，將C1向右平移得C2，C2與x軸交于點B，D．若直線y=x+m與C1、C2共有3個不同的交點，則m的取值范圍是____________.
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【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F是DE的中點，連接CF．
（1）求證：CF是⊙O的切線．
（2）若∠A＝22.5°，求證：AC＝DC．
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【題目】如圖，無人機在空中C處測得地面A、B兩點的俯角分別為60°、45°，如果無人機距地面高度CD為
米，點A、D、E在同一水平直線上，則A、B兩點間的距離是_____米．（結果保留根號）
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【題目】已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上(不與A，B重合)，DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，設AM=x，BN=y，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2．
（1）如圖（1），當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，S1S2= ；
（2）在（1）的條件下，將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉如圖（2）所示位置，
①求y與x的函數關系式；②求S1S2的值；
（3）當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α，如圖（3），當點D在BA的延長線上運動時，設的AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的關系式(用含a、b和α的三角函數表示)
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【題目】如圖，在直角坐標系內，正方形如圖擺放，已知頂點 A(a，0)，B(0，b) ，則頂點C的坐標為（ ）
A.(-b，a b)B.(-b，b - a)C.(-a，b - a)D.(b，b -a)
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【題目】如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）觀察猜想
圖1中，線段PM與PN的數量關系是 ，∠MPN的度數是 ；
（2）探究證明
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝8，請直接寫出△PMN面積的取值范圍．
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