Question

【題目】已知∠EDF的頂點D在△ABC的邊AB所在直線上(不與A，B重合)，DE交AC所在直線于點M，DF交BC所在直線于點N，設AM=x，BN=y，記△ADM的面積為S1，△BND的面積為S2．

（1）如圖（1），當△ABC是等邊三角形，AB=6，∠EDF=∠A，且DE∥BC，AD=2時，S1S2=　　　　；

（2）在（1）的條件下，將點D沿AB平移，使AD=4，再將∠EDF繞點D旋轉如圖（2）所示位置，

①求y與x的函數關系式；②求S1S2的值；

（3）當△ABC是等腰三角形時，設∠B=∠A=∠EDF=α，如圖（3），當點D在BA的延長線上運動時，設的AD=a，BD=b，直接寫出S1S2的關系式(用含a、b和α的三角函數表示)

Answer 1

【答案】（1）12；（2）①；②12；（3）S1S2a2b2sin2α．

【解析】

（1）首先證明△ADM，△BDN都是等邊三角形，可得S1= ，由此即可解決問題．
（2）①如圖2中，首先證明△AMD∽△BDN，可得，推出，推出xy=8．②由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBBNsin60°= y，可得S1S2=xy=xy=12．
（3）如圖3中，設AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsinα=axsinα，S2=DBBNsinα=bysinα，可得S1S2=（ab）2sin2α．

（1）如圖1中，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=CB=AC=6，∠A=∠B=60°．

∵DE∥BC，∠EDF=60°，

∴∠BND=∠EDF=60°，

∴∠BDN=∠ADM=60°，

∴△ADM，△BDN都是等邊三角形，

∴S122，S242=4，

∴S1S2=12．

故答案為：12．

（2）如圖2中，

①∵AM=x，BN=y，∠MDB=∠MDN+∠NDB=∠A+∠AMD，∠MDN=∠A，∴∠AMD=∠NDB．

∵∠A=∠B，

∴△AMD∽△BDN，

∴，

∴，

∴xy=8，

②∵S1ADAMsin60°x，S2DBBNsin60°y，

∴S1S2xyxy=12．

（3）如圖3中，

∵AM=x，BN=y，同法可證△AMD∽△BDN，可得xy=ab．

∵S1ADAMsinαaxsinα，S2DBBNsinαbysinα，

∴S1S2(ab)2sin2α．