Question

【題目】（概念認識）

在同一個圓中兩條互相垂直且相等的弦定義為“等垂弦”，兩條弦所在直線的交點為等垂弦的分割點．如圖①，AB、CD是⊙O的弦，AB＝CD，AB⊥CD，垂足為E，則AB、CD是等垂弦，E為等垂弦AB、CD的分割點．

（數學理解）

（1）如圖②，AB是⊙O的弦，作OC⊥OA、OD⊥OB，分別交⊙O于點C、D，連接CD．求證： AB、CD是⊙O的等垂弦．

（2）在⊙O中，⊙O的半徑為5，E為等垂弦AB、CD的分割點，．求AB的長度．

（問題解決）

（3）AB、CD是⊙O的兩條弦，CD＝AB，且CD⊥AB，垂足為F．

①在圖③中，利用直尺和圓規作弦CD（保留作圖痕跡，不寫作法）．

②若⊙O的半徑為r，AB＝mr（m為常數），垂足F與⊙O的位置關系隨m的值變化而變化，直接寫出點F與⊙O的位置關系及對應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）2；（3）①作圖見解析；②當0＜m＜時，點F在⊙O外；當m＝時，點F在⊙O上；＜m≤2時，點F在⊙O內.

【解析】

（1）根據在同圓中，相等的圓心角所對的弦相等證明AB=CD，再根據同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半可證明∠ACB=∠DCB=45°，從而可得結論；

（2）分兩種情況：①點E在⊙O內，作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，證明△AHO≌△DGO得OH＝OG，再證明矩形OHEG為正方形結合＝證明出AH＝2OH，運用勾股定理求出OH的長即可；②點E在⊙O外，求解方法同①；

（3）①連接OA，過O作OM⊥OA交于點M，以M為圓心，以AG的長為半徑畫弧交于點N，連接MN，再四等分弦MN,即可作出CD=且CD ⊥AB；

②由于AB是⊙O的弦可知m≤2，再由點F在圓上時可求出m=，最后分當0＜m＜時，點F在⊙O外；當m＝時，點F在⊙O上；＜m≤2時，點F在⊙O內，三種情況進行討論即可.

（1）如圖①，連接BC，

∵OC⊥OA、OD⊥OB，

∴∠AOC＝∠BOD＝90°，

∴∠AOB＝∠COD，

∴AB＝CD，

∵＝

∴∠ABC＝∠AOC＝45°．

同理∴∠BCD＝∠BOD＝45°，

∴∠AEC＝∠ABC＋∠BCD＝90°，

即AB⊥CD，

∵AB＝CD，AB⊥CD，

∴ AB、CD是⊙O的等垂弦．

（2）如圖②，若點E在⊙O內，作OH⊥AB，垂足為H，作OG⊥CD，垂足為G，

∵AB、CD是⊙O的等垂弦，

∴AB＝CD，AB⊥CD，

∴AH＝DG＝AB，OA＝OD，∠AHO＝∠DGO，

∴△AHO≌△DGO，

∴OH＝OG，

∴矩形OHEG為正方形，

∴OH＝HE ．

∵＝，

又AH＝BH，

∴AH＝2BE＝2OH，

在Rt△AOH中，AO2＝AH2＋OH2．

即(2OH)2＋OH2＝AO2＝25，

解得OH＝，則AB＝4HE＝4；

若點E在⊙O外，同理，AH＝，則AB＝2AH＝2．

（3）①如圖所示，弦CD即為所求；

②∵AB是⊙O的弦，

∴AB≤2r，即m≤2，

當點F在圓上時，如圖所示，

此時，AB=mr，CD=，AD=2r

由勾股定理得，

解得，

因此，當0＜m＜時，點F在⊙O外；當m＝時，點F在⊙O上；當＜m≤2時，點F在⊙O內.