Question

【題目】已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過點（1，0），（5，0），（3，﹣4）．

（1）求該二次函數的解析式；
（2）A、B為直線y=﹣2x﹣6上兩動點，且距離為2，點C為二次函數圖象上的動點，當點C運動到何處時△ABC的面積最小？求出此時點C的坐標及△ABC面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點（1，0），（5，0），（3，﹣4）在拋物線上，

∴ ，

解得 ．

∴二次函數的解析式為：y=x2﹣6x+5．

（2）

解：

設直線y=﹣2x﹣6與x軸，y軸分別交于點M，點N，

令x=0，得y=﹣6；令y=0，得x=﹣3

∴M（﹣3，0），N（0，﹣6），

∴OM=3，ON=6，由勾股定理得：MN=3 ，

∴tan∠MNO= = ，sin∠MNO= = ．

設點C坐標為（x，y），則y=x2﹣6x+5．

過點C作CD⊥y軸于點D，則CD=x，OD=﹣y，DN=6+y．

過點C作直線y=﹣2x﹣6的垂線，垂足為E，交y軸于點F，

在Rt△CDF中，DF=CDtan∠MNO= x，CF= = = x．

∴FN=DN﹣DF=6+y﹣ x．

在Rt△EFN中，EF=FNsin∠MNO= （6+y﹣ x）．

∴CE=CF+EF= x+ （6+y﹣ x），

∵C（x，y）在拋物線上，∴y=x2﹣6x+5，代入上式整理得：

CE= （x2﹣4x+11）= （x﹣2）2+ ，

∴當x=2時，CE有最小值，最小值為 ．

當x=2時，y=x2﹣6x+5=﹣3，∴C（2，﹣3）．

△ABC的最小面積為： ABCE= ×2× = ．

∴當C點坐標為（2，﹣3）時，△ABC的面積最小，面積的最小值為 ．

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）△ABC的底邊AB長度為2，是定值，因此當AB邊上的高最小時，△ABC的面積最小．如解答圖所示，由點C向直線y=﹣2x﹣6作垂線，利用三角函數（或相似三角形）求出高CE的表達式，根據表達式求出CE的最小值，這樣問題得解．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．