Question

【題目】已知：AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，如圖，AB=12，BC=4 ．BH與⊙O相切于點B，過點C作BH的平行線交AB于點E．

（1）求CE的長；
（2）延長CE到F，使EF= ，連接BF并延長BF交⊙O于點G，求BG的長；
（3）在（2）的條件下，連接GC并延長GC交BH于點D，求證：BD=BG．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BH與⊙O相切于點B，

∴AB⊥BH，

∵BH∥CE，

∴CE⊥AB，

∵AB是直徑，

∴∠CEB=∠ACB=90°，

∵∠CBE=∠ABC，

∴△ABC∽△CBE，

∴ = ，

∵AC= =4 ，

∴CE=4

（2）

解：連接AG．

∵∠FEB=∠ACB=90°，∠EBF=∠ABC，

∴△ABG∽△FBE，

∴ = ，

∵BE= =4，

∴BF= =3 ，

∴ = ，

∴BG=8

（3）

解：易知CF=4 + =5 ，

∴GF=BG﹣BF=5 ，

∴CF=GF，

∴∠FCG=∠FGC，

∵CF∥BD，

∴∠GCF=∠BDG，

∴∠BDG=∠BGD，

∴BG=BD．

【解析】（1）只要證明△ABC∽△CBE，可得 = ，由此即可解決問題．（2）連接AG．只要證明△ABG∽△FBE，可得 = ，由BE= =4，再求出BF，即可解決問題．（3）通過計算首先證明CF=FG，推出∠FCG=∠FGC，由CF∥BD，推出∠GCF=∠BDG，推出∠BDG=∠BGD即可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對切線的性質定理的理解，了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．