Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)AB：y= x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B．直線(xiàn)CD：y=﹣ x﹣1與直線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P是射線(xiàn)MD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是x，△PBM的面積是S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）當(dāng)S=20時(shí)，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B、E、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)B是直線(xiàn)AB：y= x+4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，

∴B（0，4），

∵點(diǎn)D是直線(xiàn)CD：y=﹣ x﹣1與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，

∴D（0，﹣1）；

（2）解：如圖1，∵直線(xiàn)AB與CD相交于M，

∴M（﹣5， ），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，

∴點(diǎn)P（x，﹣ x﹣1），

∵B（0，4），D（0，﹣1），

∴BD=5，

∵點(diǎn)P在射線(xiàn)MD上，即：x≥0時(shí)，

S=S△BDM+S△BDP= ×5（5+x）= x+ ，

（3）解：如圖，由（1）知，S= x+ ，

當(dāng)S=20時(shí)， x+ =20，

∴x=3，

∴P（3，﹣2），

①當(dāng)BP是對(duì)角線(xiàn)時(shí)，取BP的中點(diǎn)G，連接MG并延長(zhǎng)取一點(diǎn)E'使GE'=GE，

設(shè)E'（m，n），

∵B（0，4），P（3，﹣2），

∴BP的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，1），

∵M(jìn)（﹣5， ），

∴ = ， =1，

∴m=8，n= ，

∴E'（8， ），

②當(dāng)AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，同①的方法得，E（﹣9，6），

③當(dāng)MP為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，同①的方法得，E'（﹣2，﹣ ），

即：滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為（8， ）、（﹣9，6）、（﹣2，﹣ ）．

【解析】（1）將x=0代入函數(shù)解析式得到對(duì)應(yīng)的y值，從而可得到點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）將所求三角形的面積轉(zhuǎn)為△BDM和△BDP的面積之和，然后依據(jù)三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）分三種情況利用對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形和線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)的確定方法即可得出結(jié)論.