Question

22、已知：如圖，菱形ABCD中，∠A=120°，過C分別作AB、AD的垂線，垂足分別為E、F，與對角線BD相交于G、H．
求證：（1）△GBC≌△HDC；（2）△CGH是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）由∠A=120°，CE、CF分別垂直于AB、AC，求得∠ABC=∠ADC=60°，∠BCE=∠DCF=30°，從而證得△GBC≌△HDC；
（2）由△GBC≌△HDC可得CG=CH，根據∠CGH是△BCG的外角，可得等于60°，根據由一個角為60°，的等腰三角形是等邊三角形得出結論．

解答：證明：（1）∵ABCD為菱形，∠A=120°，
∴∠B=∠D=60°．（2分）
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠BCG=∠HDC=30°．（4分）
又∵BD為對角線，
∴∠CBG=∠HDC=30°．（5分）
BC=DC．（6分）
∴△GBC≌△HDC．（7分）

（2）∴CG=CH，
∴∠GCH=60°．（9分）
∴△CGH為等邊三角形．（10分）

點評：本題考查了菱形的對角線平分每一組對角的性質以及等邊三角形的判定．