Question

【題目】如圖，在中，，點是上一點，且平分，點是上一點，以為直徑的經過點．

求證：是的切線；

若的面積的面積，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）連結OP，如圖，由BP平分∠ABC得∠CBP=∠OBP，由OB=OP得∠OBP=∠OPB，則∠CBP=∠OPB，根據平行線的判定得OP∥BC，則利用平行線的性質得到∠APO=∠C=90°，于是可根據切線的判定定理得到結論；

（2）根據三角形面積公式由△ABP的面積-△BPC的面積=2可得BC（PA-1）=4，即BC=，再根據平行線分線段成比例定理可推出，則AB=PABC，接著利用勾股定理有AB2=AC2+BC2，所以PA2BC2=（AP+1）2+BC2，移項變形得到（AP+1）2=BC2（PA2-1），所以PA+1=BC2（PA-1），然后把BC=代入得到關于PA的方程，然后解方程即可.

證明：連結，如圖，

∵平分，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴是的切線；

解：∵的面積的面積，，

∴，

∴，

∴

∵，

∴，

∴，

而，

∴，則，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．