Question

閱讀下列范例，按要求解答問題．
例：已知實數a，b，c滿足：a+b+2c=1，a2+b2+6c+

3

2

=0，求a，b，c的值．
解：∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c，
設a=

1-2c

2

+t，b=

1-2c

2

-t①
∵a2+b2+6c+

3

2

=0②
將①代入②得：(

1-2c

2

+t)2+(

1-2c

2

-t)2+6c+

3

2

=0
整理得：t²+（c²+2c+1）=0，即t²+（c+1）²=0，∴t=0，c=-1
將t，c的值同時代入①得：a=

3

2

，b=

3

2

．∴a=b=

3

2

，c=-1．
以上解法是采用“均值換元”解決問題．一般地，若實數x，y滿足x+y=m，則可設x=

m

2

+t，y=

m

2

-t，合理運用這種換元技巧，可順利解決一些問題．現請你根據上述方法試解決下面問題：
已知實數a，b，c滿足：a+b+c=6，a²+b²+c²=12，求a，b，c的值．

Answer 1

分析：從題中我們可以看出本題的關鍵是利用方程a+b+c=6得a+b=6-c，設a=

6-c

2

+t，b=

6-c

2

-t①
將①代入方程②a²+b²+c²=12，這就把三元的方程轉化成二元的方程．求出未知數，就能正確的解出方程．

解答：解：∵a+b+c=6∴a+b=6-c，
設a=

6-c

2

+t，b=

6-c

2

-t①
∵a²+b²+c²=12②
∴(

6-c

2

+t)2+(

6-c

2

-t)2+c2=12
整理得：3c²-12c+4t²+12=0
配方得：3（c-2）²+4t²=0，
∴c=2，t=0
把c=2，t=0代入①得：a=2，b=2
所以，a=b=c=2．

點評：要用給出的換元技巧求方程的解，就要利用已給出的解題思路和方法，所以做這類題的關鍵是讀懂給出的方法，這就要求學生平時一定要養成仔細讀題的習慣．