Question

閱讀下列范例，按要求解答問題．
例：已知實數a、b、c滿足a+b+2c=1，a²+b²+6c+

3

2

=0，求a、b、c的值．
解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）²-2ab+6c+

3

2

=0．②
將①代入②，整理得4c²+2c-2ab+

5

2

=0．∴ab=2c²+c+

5

4

③
由①、③可知，a、b是關于t的方程t²-（1-2c）t+2c²+c+

5

4

=0④的兩個實數根．
∴△=（1-2c）²-4（2c²+c+

5

4

≥0，即（c+1）²≤0．而（c+1）²≥0，∴c+l=0，c=-1，
將c=-1代入④，得t²-3t+

9

4

=0．∴t₁=t₂=

3

2

，即a=b=

3

2

．∴a=b，c=-1．
解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、設a=

1-2c

2

+t，b=

1-2c

2

-t．①
∵a²+b²+6c+

3

2

=0，∴（a+b）²-2ab+6c+

3

2

=0．②
將①代入②，得（1-2c）²-2(

1-2c

2

+t)(

1-2c

2

-t)+6c+

3

2

=0．
整理，得t²+（c²+2c+1）=0，即t²+（c+1）²=0．∴t=0，c=-1．
將t、c的值同時代入①，得a=

3

2

，b=

3

2

．a=b=

3

2

，c=-1．
以上解法1是構造一元二次方程解決問題．若兩實數x、y滿足x+y=m，xy=n，則x、y是關于t的一元二次方程t²-mt+n=0的兩個實數根，然后利用判別式求解．
以上解法2是采用均值換元解決問題．若實數x、y滿足x+y=m，則可設x=

m

2

+t，y=

m

2

-t．一些問題根據條件，若合理運用這種換元技巧，則能使問題順利解決．
下面給出兩個問題，解答其中任意一題：
（1）用另一種方法解答范例中的問題．
（2）選用范例中的一種方法解答下列問題：
已知實數a、b、c滿足a+b+c=6，a²+b²+c²=12，求證：a=b=c．

Answer 1

分析：（1）此題可以利用方程組的知識建立起a與b之間的關系，根據非負數的性質解答；
（2）利用換元法構造一元二次方程，然后利用根與系數的關系解答．

解答：（1）解：由已知等式消去c，得a²+b²+3（1-a-b）+

3

2

=0，即a²+b²-3a-3b+

9

2

=0，
∴（a-

3

2

）²+（b-

3

2

）²=0，
故a=

3

2

，b=

3

2

，
于是由a+b+2c=1，得c=-1，
故a=b=

3

2

，c=-1；

（2）證明：由已知得a+b=6-c ①
（a+b）²+c²-2ab=12 ②
將①代入②得（6-c）²+c²-2ab=12，
∴ab=c²-6c+12 ③
由①③可知，a、b是關于t的方程t²-（6-c）t+c²-6c+12=0 ④的兩個實數根．
∴△=（6-c）²-4（c²-6c+12）≥0，
化簡得（c-2）²≤0，
而（c-2）²≥0，
∴c=2．
將c=2代入④，
解得t₁=t₂=2，
∴a=b=2，
∴a=b=c．

點評：此題是一道材料分析題，給出了解題的范例，考查了利用換元法根據根與系數的關系構造一元二次方程，還涉及非負數的性質等內容，需要認真對待．