Question

【題目】如圖，已知CD是△ABC中∠ACB的角平分線，E是AC上的一點，且CD2=BC·CE，AD=6，AE=4．

（1）求證：△BCD∽△DCE；

（2）求證：△ADE∽△ACD；

（3）求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）5

【解析】試題分析：（1）根據兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案；

（2）根據兩個角對應相等的兩個三角形相似，可得答案；

（3）根據兩個三角形相似，對應邊成比例，可得答案．

試題解析：（1）證明：CD是△ABC中∠ACB的角平分線，

∴∠BCD=∠DCE．

∵CD2=BCCE，

∴，

∴△BCD∽△DCE（兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似）；

（2）證明：∵△BCD∽△DCE，

∴∠EDC=∠DBC（相似三角形的對應角相等）．

∵∠ADC=∠DBC+∠DCB（三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），

∠ADC=∠ADE+∠EDC，

∴∠ADE=∠ACD．

∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD（兩個角對應相等的兩個三角形相似）；

（3）解：∵△ADE∽△ACD，

∴，

∴，

∴AC=9，

∴CE=AC-AE=9-4=5．