Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，M為AB中點．將△ACM沿CM翻折，得到△DCM(如圖2)，P為CD上一點，再將△DMP沿MP翻折，使得D與B重合(如圖3)，給出下列四個命題：

①BP∥AC；②△PBC≌△PMC；③PC⊥BM；④∠BPC＝∠BMC．

其中真命題的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由翻折的性質得∠A=∠D=∠PBM，

∴BP∥AC，故①正確；

∵在Rt△ABC中，M為斜邊AB中點，

∴AM=BM=CM,∴∠A=∠MCA，

又∵∠A=∠D，∠MCA=∠MCD，

∴∠A=∠MCA=∠D=∠MCD，

∴∠BMC=∠A+∠MCA=∠MCD+∠MCA=∠PCA，

∵BP∥AC，∴∠PCA=∠BPC，

∴∠BPC=∠BMC，故④正確；

若要使△PBC≌△PMC，則∠BCP=∠MCP，此時∠BCP=∠MCP=∠ACM=30°，則∠A=30°，題中無法確定∠A=30°，故②不一定成立；

若要使PC⊥BM，則∠BPC+∠PBA=90°，又∠PBA+∠ABC=90°，則∠BPC=∠ABC，又易知∠ABC=∠BCM，∠BPC=∠ACP，則∠ACP=∠BCM，則∠BCP=∠ACM=∠MCP，則∠A=30°，題中無法確定∠A=30°，故③不一定成立.

綜上，①④正確.

故選B.