Question

18．如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，過點B作BM⊥AC于點M，多點D作DN⊥AC于點N，分別連接BN與DM，求證：BN=DM．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD=BC，AD∥BC，又由BM⊥AC，DN⊥AC，即可得BM∥DN，∠DNA=∠BMC=90°，然后利用AAS證得△ADN≌△CBM，即可得DN=BM，由有一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，證得四邊形BMDN是平行四邊形，即可得出結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠AND=∠BMC=90°，BM∥DN，
∵在△ADN和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AND=∠BMC}&{\;}\\{∠DAN=∠BCM}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN=BM，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∴BN=DM．

點評 本題考查了平行四邊形的性質和全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生運用性質進行推理的能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．