Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜邊上AB上任一點，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延長線于F，CH⊥AB于H點，交AE于G．

（1）試說明AH＝BH

（2）求證：BD＝CG．

（3）探索AE與EF、BF之間的數量關系

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AE=EF＋BF，理由見解析

【解析】試題分析：

（1）根據等腰三角形的三線合一證明；
（2）證明△ACG≌△CBD，根據全等三角形的性質證明；
（3）證明△ACE≌△CBF即可．

試題解析：

（1）∵AC=BC，CH⊥AB∴AH＝BH

（2）∵ABC為等腰直角三角形，且CH⊥AB

∴∠ACG＝45°

∵∠CAG＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°

∴∠CAG＝∠BCF

在△ACG和△CBD中

∴△ACG≌△CBD（ASA）

∴BD＝CG

（3）AE=EF＋BF

理由如下：

在△ACE和△CBF中，

∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．