Question

在△ABC中，D是BC的中點，且AD=AC，DE⊥BC，與AB相交于點E，EC與AD相交于點F.

（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=3，BC=8，求△FCD的面積.

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）4.5．

試題分析：（1）利用D是BC邊上的中點，DE⊥BC可以得到∠EBC=∠ECB，而由AD=AC可以得到∠ADC=∠ACD，再利用相似三角形的判定，就可以證明題目結論；
（2）過點A作AM⊥BC，垂足是M，利用等腰三角形性質求出DM，利用平行線性質定理，求出AM，從而求出△ABC的面積，再利用相似三角形的性質就可以求出三角形FCD的面積．
試題解析：（1）∵D是BC邊上的中點，DE⊥BC，∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，∴△BDE≌△EDC，∴∠B=∠DCE，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACB，∴△ABC∽△FCD；
（2）過點A作AM⊥BC，垂足是M，∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴，，
∵DE⊥BC，∴D是BC邊上的中點，∴BD=DC，∵BC=8，∴DC=4，∵AD=AC，AM⊥DC，∴DM=MC=2，∴BM=4+2=6，
∵DE⊥BC，AM⊥DC，∴DE∥AM，∴，∴，，，∴S_△ABC=BC×AM=，∵，∴．