Question

【題目】如圖，在中，點是邊上（端點除外）的一個動點，過點作直線．設交的平分線于點，交的外角平分線于點，連接、．

那么當點運動到何處時，四邊形是矩形？并說明理由．

在的前提下滿足什么條件，四邊形是正方形？（直接寫出答案，無需證明）

Answer 1

【答案】（1）當點運動到中點時，四邊形是矩形，理由詳見解析；（2）在的前提下，滿足時，四邊形是正方形，理由詳見解析.

【解析】

（1）由于CE平分∠BCA，那么有∠1=∠2，而MN∥BC，利用平行線的性質有∠1=∠3，等量代換有∠2=∠3，于OE=OC，同理OC=OF，于是OE=OF，而OA=OC，那么可證四邊形AECF是平行四邊形，又CE、CF分別是∠BCA及其外角的角平分線，易證∠ECF是90°，從而可證四邊形AECF是矩形．

（2）由（1）得出四邊形AECF是矩形，再由平行線得出AC⊥EF，得出四邊形AECF是菱形，即可得出結論．

當點運動到中點時，四邊形是矩形；理由如下：

如圖所示：

∵平分，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形，

∵是的外角平分線，

∴，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

∴平行四邊形是矩形．

在的前提下，滿足時，四邊形是正方形；理由如下：

∵由得：當點運動到的中點時，四邊形是矩形，

∵，當時，

∴，

∴，

∴四邊形是菱形，

∴四邊形是正方形．