Question

如圖，AB是⊙O的直徑，動弦CD垂直AB于點E，過點B作直線BF∥CD交AD的延長線于點F，若AB=10cm．

（1）求證：BF是⊙O的切線．
（2）若AD=8cm，求BE的長．
（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB。
又∵AB是⊙O的直徑，∴BF是⊙O的切線。 
（2）如圖1，連接BD。

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）。
又∵DE⊥AB，∴△ADE∽△ABD。
∴�！郃D²=AE•AB。
∵AD=8cm，AB=10cm，∴AE=6.4cm。∴BE=AB﹣AE=3.6cm。
（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。理由如下：
連接BC。

∵四邊形CBFD為平行四邊形，
∴BC∥FD，即BC∥AD。
∴∠BCD=∠ADC（兩直線平行，內錯角相等）。
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所對的圓周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA，
又∵∠BDA=90°（直徑所對的圓周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°。
∴CD是⊙O的直徑，即點E與點O重合（或線段CD過圓心O）。
在△OBC和△ODA中，∵OC=OD，∠COB=∠DOA=90°，OB=OA，
∴△OBC≌△ODA（SAS）�！郆C=DA（全等三角形的對應邊相等）。
∴四邊形ACBD是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），
∵∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），AC=AD，∴四邊形ACBD是正方形。

（1）欲證明BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可。
（2）連接BD，在直角三角形ABD中，利用△ADE∽△ABD【學過投影定理的直接應用】可以求得AE的長度，最后結合圖形知BE=AB﹣AE。
（3）連接BC，四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形。根據平行四邊形的對邊平行、平行線的性質、圓周角定理以及同弧所對的圓周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直徑，然后由全等三角形的判定與性質推知AC=BD，根據正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形。