Question

在Rt△ABC中，BC=9， CA=12，∠ABC的平分線BD交AC與點D， DE⊥DB交AB于點E．
（1）設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；
（2）設⊙O交BC于點F，連結EF，求的值．

Answer 1

（1）證明：由已知DE⊥DB，⊙O是Rt△BDE的外接圓，
∴BE是⊙O的直徑，點O是BE的中點，連結OD，

∵，∴．
又∵BD為∠ABC的平分線，∴．
∵，∴．
∴，即∴
又∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．
（2） 解：設⊙O的半徑為r， 在Rt△ABC中，，
∴
∵，，∴△ADO∽△ACB．
∴．∴．
∴．∴
又∵BE是⊙O的直徑．∴．∴△BEF∽△BAC
∴．

（1）因為點D在⊙O上，所以只要連結圓心和圓上這點，證明OD和AC垂直即可.
利用角平分線、等腰三角形、直角三角形兩銳角互余，完成證明.
（2）利用勾股定理求得AB的長.；利用△ADO∽△ACB對應線段成比例求得BE的長；利用△BEF∽△BAC得=，從而問題得解.