Question

如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE。
（1）求證：AE是⊙O的切線；（2）若∠DBC=30°，DE="1" cm，求BD的長。

Answer 1

解：（1）(6分)證明：連接AO． ∵AO=DO， ∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ODA．∴∠ADE=∠OAD．
∵AE⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=90°．
∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED 證得OA⊥AE也可．）
∴AE是⊙O的切線．
（2）(8分)∵BD是⊙O的直徑，∴∠C=90°
∵∠DBC=30°∴∠BDC=60°∴∠ADE=∠ODA=60°
∴在Rt△AED中，∠EAD=30  ∵ED=1   ∴AD=2ED=2 
∵在Rt△ABD中, ∠ABD=30,   AD=2
∴BD=2AD=4（cm）  ∴BD的長為4cm。

（1）連接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案；
（2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD。