Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E，F分別在BC，CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于點G，下列結論：①CE=CF，②∠AEB=75°，③AG=2GC，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE ， 其中結論正確的個數為（ ）

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴CE=CF，故①正確；
∵∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°，
∴∠AEB=75°，故②正確；
設EC=x，由勾股定理，得
EF= x，CG= x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°= x，
∴AG≠2GC，③錯誤；
∵CG= x，AG= x，
∴AC= x
∴AB=AC = x，
∴BE= x﹣x= x，
∴BE+DF=（ ﹣1）x，
∴BE+DF≠EF，故④錯誤；
∵S△CEF= x2 ，
S△ABE= ×BE×AB= × x× x= x2 ，
∴2S△ABE═S△CEF ， 故⑤正確．
綜上所述，正確的有3個，
故選：B．
通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，得到CE=CF；由正方形的性質就可以得出∠AEB=75°；設EC=x，由勾股定理得到EF，表示出BE，利用三角形的面積公式分別表示出S△CEF和2S△ABE ， 再通過比較大小就可以得出結論．