Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的對稱軸為經過點（1，0）的直線，其圖象與x軸交于點A、B，且過點C（0，﹣3），其頂點為D．

（1）求這個二次函數的解析式及頂點坐標；
（2）在y軸上找一點P（點P與點C不重合），使得∠APD=90°，求點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，將△APD沿直線AD翻折得到△AQD，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得二次函數圖象的對稱軸x=1，則﹣ =1，b=﹣2．

又二次過點C（0，﹣3），

∴﹣3=c，c=﹣3．

即二次函數解析式為：y=x2﹣2x﹣3

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，得

頂點坐標D為：（1，﹣4）；

（2）

解：解法一：設P（0，m）

由題意，得PA= ，PD= ，AD=2 ，

∵∠APD=90°，∴PA2+PD2=AD2，即（ ）2+（ ）2=（2 ）2

解得m1=﹣1，m2=﹣3（不合題意，舍去）．

∴P（0，﹣1）；

解法二：

如圖，作DE⊥y軸，垂足為點E，

則由題意，得 DE=1，OE=4…

由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，

由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OAP=∠EPD

又∠AOP=∠OED=90°，

∴△OAP∽△EPD

∴ = ，

設OP=m，PE=4﹣m

則 = ，

解得m1=1，m2=3（不合題意，舍去），

∴P（0，﹣1）；

（3）

解：解法一：

如圖，作QH⊥x軸，垂足為點H，易得PA=AQ=PD=QD= ，∠PAQ=90°，

∴四邊形APDQ為正方形．

由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，

∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA

∴△AOP≌△AHQ，

∴AH=OP=1，QH=OA=3．

∴Q（4，﹣3）；

解法二：

設Q（m，n），

則AQ= = ，QD= = ，

解得 ， （不合題意，舍去），

∴Q（4，﹣3）．

【解析】（1）根據對稱軸的定義求得b=﹣2，把點C的坐標代入求得c=﹣3；將一般式方程轉化為頂點式方程即可得到點D的坐標；（2）設P（0，m），由勾股定理分別表示PA，PD，AD的長，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；（3）作QH⊥x軸，垂足為點H，由勾股定理求出PA=PD= ，又∠PAQ=90°，可證△PAD為等腰直角三角形，由翻折的性質可知四邊形APDQ為正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用線段相等關系求Q點坐標．