Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-1的頂點為A，直線l過點P（0，m）且平行于x軸，與拋物線交于點B和點C．若AB=AC，∠BAC=90°，則m=______．

Answer 1

【答案】3

【解析】

設直線l與對稱軸的交點為點D，則根據等腰直角三角形的性質可得BD=AD，根據韋達定理可表示出x1+x2與x1x2，進而表示出BC的長度和BD的長度，根據BD=AD可列出方程求出m的值.

設直線l與對稱軸的交點為點D，則根據等腰直角三角形的性質可得BD=AD，拋物線的頂點坐標為A（3，-1），

由題意得直線l的表達式為直線y=m，

當y=m時，可得方程

原方程整理可得，

由一元二次方程根與系數的關系可得x1+x2=6，x1x2=，

（x1-x2）2=（x1+x2）2-4 x1x2=36-20+16m=16+16m

∵直線l與拋物線交于點B和點C，

故m＞-1，

∵BC2=16+16m，AD=m+1,BD==AD,

∴BC=2AD，BC2=4AD2，

16+16m =4（m+1）2

整理得，m2-2m-3=0

解得m=3或m=-1（舍去）

即m=3.

故答案為3.