Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．

(1)求證：AE平分∠BAC；

(2)若AD=2，EC= ，∠BAC=60°，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

試題（1）連接OE，根據切線的性質就可以得出OE⊥PQ，就可以得出OE∥AC，可以得出∠BAE=∠CAE而得出結論；

（2）連接BE，由AE平分∠BAC就可以得出∠BAE=∠CAE=30°，就可以求出AE=2，在Rt△ABE中由勾股定理可以求出AB的值，從而求出結論．

試題解析：（1）證明：連接OE，

∴OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE．

∵PQ切⊙O于E，

∴OE⊥PQ．

∵AC⊥PQ，

∴OE∥AC．

∴∠OEA=∠EAC，

∴∠OAE=∠EAC，

∴AE平分∠BAC．

（2）解：連接BE，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°．

∵∠BAC=60°，

∴∠OAE=∠EAC=30°．

∴AB=2BE．

∵AC⊥PQ，

∴∠ACE=90°，

∴AE=2CE．

∵CE=，

∴AE=2．

設BE=x，則AB=2x，由勾股定理，得

x2+12=4x2，

解得：x=2．

∴AB=4，

∴⊙O的半徑為2．