Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，以直線x=對稱軸的拋物線y=ax2+bx+c與直線l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B兩點，與y軸交于C（0，5），直線l與y軸交于點D．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設直線l與拋物線的對稱軸的交點為F，G是拋物線上位于對稱軸右側的一點，若，且△BCG與△BCD面積相等，求點G的坐標；

（3）若在x軸上有且僅有一點P，使∠APB=90°，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣5x+5，（2）G（3，﹣1），G（，）．（3）﹣1+

．

【解析】

（1）根據二次函數的圖象與系數的關系列出方程組解出a，b，c的值即得二次函數的解析式；

（2）作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，可得出B點的坐標即可列出方程組求出一次函數解析式，再根據S△BCD=S△BCG列出等式即可求得G；

（3）根據題意列出等式求出x的值，則B（k+4，k2+3k+1），再根據以AB為直徑的圓與x軸只有一個交點，且P為切點，得出O′P⊥x軸，P（，0），根據△AMP∽△PNB，得出AMBN=PNPM，代入數值即可求出k的值.

解：（1）由題意可得，

解得a=1，b=﹣5，c=5；

∴二次函數的解析式為：y=x2﹣5x+5，

（2）作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，

則，

∵MQ=，

∴NQ=2，B（，）；

∴，

解得，

∴，D（0，），

同理可求，，

∵S△BCD=S△BCG，

∴①DG∥BC（G在BC下方），，

∴=x2﹣5x+5，

解得，，x2=3，

∵x＞，

∴x=3，

∴G（3，﹣1）．

②G在BC上方時，直線G2G3與DG1關于BC對稱，

∴=，

∴=x2﹣5x+5，

解得，，

∵x＞，

∴x=，

∴G（，），

綜上所述點G的坐標為G（3，﹣1），G（，）．

（3）由題意可知：k+m=1，

∴m=1﹣k，

∴yl=kx+1﹣k，

∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，

解得，x1=1，x2=k+4，

∴B（k+4，k2+3k+1），

設AB中點為O′，

∵P點有且只有一個，

∴以AB為直徑的圓與x軸只有一個交點，且P為切點，

∴O′P⊥x軸，

∴P為MN的中點，

∴P（，0），

∵△AMP∽△PNB，

∴，

∴AMBN=PNPM，

∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），

∵k＞0，

∴k==﹣1+．