Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，直徑DE⊥AB于點F，交BC于點 M，DE的延長線與AC的延長線交于點N，連接AM．

（1）求證：AM＝BM；

（2）若AM⊥BM，DE＝8，∠N＝15°，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）+

【解析】

（1）由垂徑定理可求得AF＝BF，可知DE為AB的垂直平分線，可得AM＝BM；

（2）連接AO，BO，可求得∠ACB＝60°，可求得∠AOF，由DE的長可知AO，在Rt△AOF中得AF，在Rt△AMF中可求得AM，在Rt△ACM中，由，可求得CM，則可求得BC的長．

（1）證明：

∵直徑DE⊥AB于點F，

∴AF＝BF，

∴AM＝BM；

（2）連接AO，BO，如圖，

由（1）可得 AM＝BM，

∵AM⊥BM，

∴∠MAF＝∠MBF＝45°，

∴∠CMN＝∠BMF＝45°，

∵AO＝BO，DE⊥AB，

∴∠AOF＝∠BOF＝，

∵∠N＝15°，

∴∠ACM＝∠CMN+∠N＝60°，即∠ACB＝60°，

∵∠ACB＝．

∴∠AOF＝∠ACB＝60°．

∵DE＝8，

∴AO＝4．

在Rt△AOF中，由，得AF＝，

在Rt△AMF中，AM＝＝．得BM= AM＝，

在Rt△ACM中，由，得CM＝，

∴BC＝CM+BM＝+．