Question

【題目】如圖，一次函數y=kx+b與反比例函數y=的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點．

（1）求反比例函數和一次函數的表達式；

（2）根據圖象寫出不等式kx+b﹣＞0的解集；

（3）若點M在x軸上、點N在y軸上，且以M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M、N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析為y=，一次函數解析式為y=﹣2x+8；（2）解集為1＜x＜3或x＜0；（3）以M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形時，M（﹣2，0），N（0，﹣4）或M（4，0），N（0，8）．

【解析】試題分析：（1）由A點坐標可求得m的值，可求得反比例函數解析式，則可求得B點坐標，由A、B兩點坐標，利用待定系數法可求得直線AB的解析式；

（2）結合函數圖象可知不等式的解集即為一次函數圖象在反比例函數圖象上方時對應的x的取值范圍，結合A、B坐標可求得答案；

（3）當AB為平行四邊形的邊時，①當M在x軸正半軸，N在y軸正半軸時，過A作AC∥y軸，過B作BC∥x軸，可證明△ABC≌△NMO，則可求得OM和ON，②當M在x軸負半軸，N在y軸負半軸時，同理可求得OM和ON的長，則可求得M、N的坐標；當AB為對角線時，可求得M、N、A、B四點共線，不合題意．

試題解析：（1）反比例函數y=的圖象過A（1，6），

∴m=1×6=6，

∴反比例函數解析為y=，

把x=3代入可得n=2，

∴B（3，2），

設直線AB解析式為y=kx+b，

把A、B坐標代入可得，解得，

∴一次函數解析式為y=﹣2x+8；

（2）不等式kx+b﹣＞0可化為不等式kx+b＞，

即直線在反比例函數圖象上方時所對應的自變量x的取值范圍，

∵A（1，6），B（3，2），

∴不等式kx+b﹣＞0的解集為1＜x＜3或x＜0；

（3）當AB為平行四邊形的邊時，

①當M在x軸正半軸，N在y軸正半軸時，如圖1，過A作AC∥y軸，過B作BC∥x軸，

∵A（1，6），B（3，2），

∴BC=3﹣1=2，AC=6﹣2=4，

∵MN∥AB，且MN=AB，

∴∠ONM=∠CAB，

在△NOM和△ACB中 ,

∴△NOM≌△ACB（AAS），

∴OM=BC=2，ON=AC=4，

∴M（2，0），N（0，4）；

②當M在x軸的負半軸、N在y軸的負半軸時，同理可求得M（﹣2，0），N（0，﹣4）；

當AB為對角線時，設M（x，0），N（0，y），

∵A（1，6），B（3，2），

∴平行四邊形的對稱中心為（2，4），

∴x+0=4，y+0=8，解得x=4，y=8，此時M（4，0），N（0，8），

在y=﹣2x+8中，令y=0可得x=4，令x=0可得y=8，

∴A、B、M、N四點共線，不合題意，舍去；

綜上可知以M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形時，M（﹣2，0），N（0，﹣4）或M（4，0），N（0，8）．