Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A(-5，8)，B(3，0).

（1）如圖1，求∠ABO的度數；

（2）如圖2，點C在y軸的負半軸上，△BOC的面積為，過點C作CD∥AB交x軸于點D，點P為直線CD上一點，求△PAB的面積；

（3）如圖3，在（2）的條件下，當P在第二象限時，過點P作AB的垂線交x軸于點E，點F為x軸上一點，連接PF，點G為EP延長線上一點，連接OG，若OG=FP，∠EFP+∠PGO=45°，EF=11，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）24；（3）P（-5，2）或（-7，4）

【解析】

（1）過點A作AD⊥x軸交于點D，求出AD、BD的長度即能得到答案；

（2）根據平行線間的距離處處相等，即能知道△PAB以AB為底時，高就是BC的長度，求出線段的長度，代入面積公式就能求出；

（3）分為點F在點E左側和右側進行討論，根據題（2）求出PC的解析式，以及由∠EFP+∠PGO=45°推出△PFE≌△GOH，就能知道EF、OH與EO之間的關系，由EF=11，求出ED的長度后就能求出點P的橫坐標，代入PC的解析式，就能求出點P的坐標．

解：（1）如圖1，過點A作AD⊥x軸交于點D，

∵A(-5，8)，B(3，0)，

∴AD=8，BD=8，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABO=45°．

（2）由（1）可知，根據勾股定理可得：AB=，

∵△BOC的面積為，OB=3，

∴ ，

，

∵點C在y軸的負半軸上，

∴C點坐標為（0，-3），

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，BC=，

∴∠ABC=∠OBC+∠ABO= 90°，

∴BC⊥AB．

∵CD∥AB，

∴點P到直線AB的距離就是BC的長度，

∴

∴△PAB的面積為24．

（3）∵點G為EP延長線上一點，∠EFP+∠PGO=45°，當點G在第二象限時，∠PGO＞45°，∴點G在第一象限．

當點F在點E的左邊時，如圖3—1所示：

由（2）可知直線PC的解析式為y=﹣x﹣3，且∠PDE= 45°，OD=3，

∵PE⊥PC，

∴∠PED= 45°，∠EHO= 45°，

∴ PE=PD，∠PEF= 135°，∠GHO= 135°．

∵∠EFP+∠PGO=45°，∠GOH+∠PGO=45°，

∴∠EFP=∠GOH．

在△PFE和△GOH中，

，

∴△PFE≌△GOH（AAS），

∴EF=HO=11．

∴EO=HO=11，

∴DE=8，

∴點P的橫坐標距離原點的距離為7，即點P的橫坐標為﹣7，

將﹣7代入直線PC的解析式為y=﹣x﹣3，

則點P的縱坐標為4，

∴點P的坐標為（-7，4）．

當點F在點E的左邊時，如圖3-2所示：

同理可證得FD=HO=EO，

∵ EF=11，

∴ EO+OF=11，

∴ EO+FD－OD=11，

∴ 2ED=11+3，

∴ ED=7，

即點P的橫坐標為﹣5，

將﹣5代入直線PC的解析式為y=﹣x﹣3，

則點P的縱坐標為2，

∴點P的坐標為（-5，2）．

所以點P坐標為（-5，2）或（-7，4）．