Question

【題目】如圖，已知ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分別交CD，AB于E，F．

（1）作∠BCD的角平分線CF（尺規作圖，保留痕跡，不寫作法）
（2）求證：AE=CF

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖；①以B為圓心，以任意長為半徑化弧，分別與AB，BC的交于點M，N，

②分別以M，N為圓心，大于MN為半徑畫弧，兩弧交于點P，

③作射線BP，交CD于點F，則BF即為所求

（2）

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，

又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，

∴∠DAE=∠DAB，∠BCF=∠DCB，

∴∠DAE=∠BCF，

在△DAE和△BCF中，

，

∴△DAE≌△BCF（ASA），

∴AE=CF．

【解析】（1）首先以B為圓心，以任意長為半徑化弧，分別與AB，BC的交于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線BP，交CD于點F，則BF即為所求；
（2）由ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，易得AD=BC，∠D=∠B，∠DAB=∠DCB，∠DAE=∠BCF，繼而證得△DAE≌△BCF，則可證得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．