Question

【題目】如圖1，A，B分別在射線OM，ON上，且∠MON為鈍角，現以線段OA，OB為斜邊向∠MON的外側作等腰直角三角形，分別是△OAP，△OBQ，點C，D，E分別是OA，OB，AB的中點．

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)延長PC，QD交于點R．

①如圖2，若∠MON＝150°，求證：△ABR為等邊三角形；

②如圖3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析，②∠MON＝135°，＝．

【解析】

（1）根據三角形中位線的性質得到DE＝OC，∥OC，CE＝OD，CE∥OD，推出四邊形ODEC是平行四邊形，于是得到∠OCE＝∠ODE，根據等腰直角三角形的定義得到∠PCO＝∠QDO＝90°，根據等腰直角三角形的性質得到得到PC＝ED，CE＝DQ，即可得到結論

（2）①連接RO，由于PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，得到AP＝OR＝RB，由等腰三角形的性質得到∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，根據四邊形的內角和得到∠CRD＝30°，即可得到結論；

②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，推出∠PEQ＝∠ACR＝90°，證得△PEQ是等腰直角三角形，根據相似三角形的性質得到∠ARB＝∠PEQ＝90°，根據四邊形的內角和得到∠MON＝135°，求得∠APB＝90°，根據等腰直角三角形的性質得到結論．

（1）證明：∵點C、D、E分別是OA，OB，AB的中點，

∴DE＝OC，DE∥OC，CE＝OD，CE∥OD，

∴四邊形ODEC是平行四邊形，

∴∠OCE＝∠ODE，

∵△OAP，△OBQ是等腰直角三角形，

∴∠PCO＝∠QDO＝90°，

∴∠PCE＝∠PCO+∠OCE＝∠QDO+∠EDO＝∠EDQ，

∵，，

在△PCE與△EDQ中，，

∴△PCE≌△EDQ；

（2）①如圖2，連接RO，

∵PR與QR分別是OA，OB的垂直平分線，

∴AR＝OR＝RB，

∴∠ARC＝∠ORC，∠ORQ＝∠BRO，

∵∠RCO＝∠RDO＝90°，∠COD＝150°，

∴∠CRD＝30°，

∴∠ARB＝60°，

∴△ARB是等邊三角形；

②由（1）得，EQ＝EP，∠DEQ＝∠CPE，

∴∠PEQ＝∠CED﹣∠CEP﹣∠DEQ＝∠ACE﹣∠CEP﹣∠CPE＝∠ACE﹣∠RCE＝∠ACR＝90°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，∵△ARB∽△PEQ，∴∠ARB＝∠PEQ＝90°，

∴∠OCR＝∠ODR＝90°，，

∴∠MON＝135°，

此時P，O，B在一條直線上，△PAB為直角三角形，且∠APB＝90°，

∴，∴．

故答案是：（1）見解析；（2）①見解析，②∠MON＝135°，．