Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，與過點(diǎn)C且平行于x軸的直線交于另一點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線解析式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)在軸上，若以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足為，若將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．是否存在點(diǎn)，使恰好落在軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；點(diǎn)坐標(biāo)為； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為：（， ），（，）．

【解析】

1)用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式,令y=2可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)

(2)分兩種情況進(jìn)行討論,①當(dāng)AE為一邊時(shí),AE∥PD,②當(dāng)AE為對(duì)角線時(shí),根據(jù)平行四邊形對(duì)頂點(diǎn)到另一條對(duì)角線距離相等,求解點(diǎn)P坐標(biāo)

(3)結(jié)合圖形可判斷出點(diǎn)P在直線CD下方,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，),分情況討論,①當(dāng)P點(diǎn)在y軸右側(cè)時(shí),②當(dāng)P點(diǎn)在y軸左側(cè)時(shí),運(yùn)用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可

（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，

∴，解得：，，

∴拋物線解析式為：；

當(dāng)時(shí)，，解得：，（舍），即：點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）∵，兩點(diǎn)都在軸上，∴有兩種可能：

①當(dāng)為一邊時(shí)，∥，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合（如圖1），∴，

②當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)、點(diǎn)到直線（即軸）的距離相等，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（如圖2），

把代入拋物線的解析式，得：，

解得：，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，，

綜上所述：； ； ．

（3）存在滿足條件的點(diǎn)，顯然點(diǎn)在直線下方，設(shè)直線交軸于，

點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

①當(dāng)點(diǎn)在軸右側(cè)時(shí)（如圖3），

，

，

又∵，

∴,

又，∴，

∴，

∵，，，∴，∴，

∴，＝＝，

即，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），

②當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)時(shí)（如圖4），

此時(shí)，，＝＝，

＝－（）＝，

又∵，，

∴，又

∴，∴，

∵，，，

∴，∴，

∴，

＝＝，

此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別為：（，），（，）．